Medida Aproximada de Figuras Amorfas Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado. Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estimar esta área. La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación semejante. Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada. Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b. El gráfico de la función se muestra a continuación, Para estimar el área de tal figura, considere que el área bajo la curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales. Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una d x para la anchura. El área de esta tira elemental sería, d A = y d x donde y = f(x) El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada. Esto produce la fórmula, A = d A = y d x = f(x) d x La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola. 2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g (y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación, Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria d y para la altura y x para la longitud. El área de esta tira elemental sería, d A = x d y donde x = g (y) El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g (y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = d A = x d y = g(y) d y 3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo. Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces A = | f(x) d x| 4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán, A = |A1| + A2 Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas, Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x. La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería, El área de la región limitada es, A = y d x = d x = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3 nota: entonces para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aun sin conocer su expresión. Notación Sumatoria En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la adición de una serie de números para generar la suma total de todos los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la expresión que representa este tipo de operación. El problema empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se muestra a continuación, Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la ausencia de números en la serie. Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma. Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más conveniente para representar la operación sumatoria. Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador sigma es un símbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la operación sumatoria utilizando el símbolo sumatorio se representa, La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el “Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria. El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado derecho del índice de la variable y termina en el valor escrito sobre el símbolo sumatorio. El límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final. La expresión mostrada arriba se calcula como, = x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + x n Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Tal operación se puede denotar como, NOTA: son las operaciones matemáticas requieren la adicción de una serie de números para generar la suma total de todos la suma de la serie. Sumas de Riemann Y que es definida en un intervalo cerrado [p, q] que se encuentra en algún lugar en la recta numérica real, dividimos el intervalo de manera tal que para Después de haber estudiado los gráficos y las curvas a profundidad, tenemos que estudiar cómo encontrar el área bajo la curva de un gráfico. El método debe su nombre al matemático que lo inventó, Bernard Riemann, que fue un matemático alemán. La suma de Riemann para un gráfico se puede calcular de cuatro maneras diferentes, a saber; suma de Riemann por la izquierda, suma de Riemann de punto medio, suma de Riemann por la derecha y la regla del trapecio. La técnica detrás de los cuatro métodos es la misma sólo que el método para calcular el resultado es un poco diferente. Matemáticamente, la suma de Riemann se puede definir como una función valorada real f: X < x1< x2< x3< x4<… < xn-1< x n < q. Ahora la suma de Riemann será, Donde xi tiene el mayor valor y xi-1 tiene el valor más pequeño. Y i es un valor arbitrario en él su intervalo ith. El tamaño de la malla de partición es el mayor valor de (xi - xi-1). Para calcular la suma de Riemann por la izquierda, sea valor de xi-1igual al valor de y i. Para calcularla suma de Riemann por la derecha, sea el valor de xi igual al valor de y i. Si el valor de y i se mantiene igual al valor promedio de xi y xi-1, entonces tenemos la suma de Riemann de punto medio como resultado. Finalmente la suma trapezoidal es el valor promedio de la suma de Riemann por la izquierda y la suma de Riemann por la derecha. NOTA: es una suma que representamos las sumas de áreas de rectángulo con base de xk-xk-1 y altura f (tk). Ejercicio de suma de Riemann ∑_(k=1)^5▒k^2 =1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 1+4+9+16+25=55 ∑_(k=0)^6▒k^ =0+1+2+3+4+5+6=21 ∑_(k=1)^6▒〖k+2〗 =1+2+2+2+3+2+4+2+5+2+6+2=33 ∑_(k=3)^8▒i^k = i^3+i^4+i^5+i^6+i^7+i^8 =33 ∑_(i=3)^n▒〖2^ i^ 〗 =2(3)+2(4)+2(5)+2(6)+…+2(n) Propiedad conmutativa Propiedad conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. Vamos a ver un ejemplo de la propiedad conmutativa. El resultado de multiplicar 10 x 3 será igual que al multiplicar 3 x 10. Aunque cambiemos el orden de los factores el resultado seguirá siendo 30. NOTA: por ejemplo los factores no varía el producto cuando hacemos el resultado de la multiplicación 10*3 el orden seguirá siendo 30. Propiedad asociativa Propiedad asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado de la multiplicación. Pongamos un ejemplo de la propiedad asociativa de la multiplicación. En este caso, como mostramos en la imagen, nos dará el mismo resultado si multiplicamos 3 x 2 y después lo multiplicamos por 5, que si multiplicamos 2 x 5 y después lo multiplicamos por 3. Practica esta propiedad con los ejercicios online de la propiedad asociativa haciendo clic en el enlace. Elemento neutro Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. En el ejemplo que os mostramos en la imagen, vemos que si multiplicamos 5 o 7 por la unidad, nos da como resultado 5 o 7. Por lo tanto cualquier número que multipliquemos por 1, nos dará como resultado el mismo número. Accede a los ejercicios online haciendo clic en el enlace para practicar el elemento neutro. Propiedad distributiva Propiedad distributiva: La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos. Pongamos un ejemplo: 2 x (3 + 5) Según la propiedad distributiva 2 x (3 + 5) será igual a 2 x 3 + 2 x 5 Comprobemos si esto es cierto. 2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16 Ambas nos dan como resultado 16, por lo que queda demostrada la propiedad distributiva de la multiplicación. Puedes acceder a través del enlace a los ejercicios online para practicar la propiedad distributiva. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. Pongamos un ejemplo de sacar factor común. Si tenemos la operación (2 x 7) + (3 x 7), que tiene como factor común el 7, podríamos transformar esta operación en 7 x (2 + 3) Comprobemos que da el mismo resultado: (2 x 7) + (3 x 7) = 14 + 21 = 35 7 x (2 + 3) = 7 x 5 = 35 Por lo tanto queda demostrada esta propiedad de la multiplicación. Pulsando en el enlace podrás practicar el sacar factor común con nuestros ejercicios online. Si quieres puedes ver el vídeo tutorial de las propiedades de la multiplicación. Lo que dice la propiedad asociativa de la multiplicación es que si multiplicamos primero 3 x 2 y el resultado lo multiplicamos por 5 nos da igual que si multiplicamos primero 2 x 5 y después multiplicamos por 2. ¿Lo comprobamos? 3 x 2 = 6 6 x 5 = 30 2 x 5 = 10 10 x 3 = 30 ¿Viste? Hemos obtenido el mismo resultado multiplicando de dos formas distintas. ¡Esto es la propiedad asociativa de la multiplicación! Otro ejemplo: 2 x 3 x 4 x 5 Lo multiplicaremos de varias formas para demostrar la propiedad asociativa de la multiplicación: 2 x 3 x 4 x 5 2 x 3 = 6 6 x 4 = 24 24 x 5 = 120 3 x 5 x 2 x 4 3 x 5 = 15 15 x 2 = 30 30 x 4 =120 5 x 2 x 4 x 3 5 x 2 = 10 10 x 4 = 40 40 x 3 = 120 4 x 5 x 3 x 2 4 x 5 =20 20 x 3 = 60 60 x 2 = 120