integral indefinida

Definición

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.

La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f (x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Integración

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.                Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

F (x) es el integrando o función a integrar.

d x es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f (x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

LA INTEGRAL

1. La integral indefinida

Funciones primitiva

Definición. Sea f una función, se dice que F, función derivable, es una primitiva de f si se verifica F ’=f

Ejemplo 1. Si f(x)= 3x² una primitiva es F(x)= x³. Otra G(x)= x³+7

Proposición.1. Si F es una primitiva de f entonces F+C también lo es.

En efecto ya que  (F+C)’=F’+C’= F’ +0= f

Proposición.2.Si una función f tiene derivada nula en un intervalo entonces f es constante. (se admite sin demostración)

Teorema. Si F₁ y F₂ son primitivas de f, entonces se diferencian en una constante, es decir F₁= F₂+C

Demostración

Si F₁ es primitiva de f Þ F₁’(x)= f(x); si F₂ es primitiva de f Þ F₂’(x)= f(x)

Luego F₁’(x)- F₂’(x)= 0 Þ F₁-F₂= C

Consecuencia. Dada una primitiva F de f, el conjunto de sus primitivas es F+C. A dicho conjunto se le llamará la integral indefinida de f y se escribirá 

 ó 

.

A f(x) se le llama integrando y al símbolo 

, símbolo de integración.

Propiedades de la integral indefinida (Linealidad)

1) 

Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas

2) 

Es consecuencia de que si F es primitiva de f Þ  kF es primitiva de kf, pues (kF)’= kF’= kf

2. Integrales inmediatas

Tabla de primitivas (hacerla teniendo en cuenta la de derivadas y su relación)

Integrales inmediatas (o casi inmediatas)

Llamamos así a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado.

Ejemplo 2. a) 

; b) 

Ejercicio 1. Calcula las siguientes integrales inmediatas:

a) 

; b) ; c) ; d) 

3. Métodos de Integración

I). Método de descomposición

Se basa en la linealidad de la integral indefinida

Ejemplo.3 =+C

Ejercicio.2. Calcula.

II). Integración por partes.

Se basa en la fórmula de la derivación de un producto.

(u.v)’ = u’.v +v’.u 

Como, se tiene:

o utilizando diferenciales:

Ejemplo 4. 

Tomamos:

De donde: = 

Ejercicio.3. Calcula 

III) Integración por sustitución o cambio de variable.

Proposición. Si F es una primitiva de f y h(x)=F(u(x))

Demostración

Se basa en la regla de la cadena. Si F es primitiva de f F’(x)=f(x) y h’(x)=F’(u(x)).u’(x) =f(u(x)).u’(x), usando la regla de la cadena,  luego h(x) es una primitiva de f(u(x))u’(x).

Ejemplo 5. I=.

Hacemos u=x³-1du=3x²dx       y sustituyendo

I=

Ejercicio 4. Calcula 

Nota. Teniendo en cuenta la proposición anterior se puede ampliar la tabla de derivadas a funciones compuestas (hacerlo)

Ejemplo 6. 

Ejercicio 5. Calcula 

IV). Integración de funciones racionales

Son de la forma  donde P y Q son polinomios.

El método para calcular este tipo de integrales supone que el grado del numerador es menor que el del denominador, luego en primer lugar, si esto no ocurre hay que hacer la división.

, es decir  y como

, el problema queda reducido al de  calcular, y aquí siempre se verifica          grad R(x)< grad Q(x)

Ejemplo 7. =

Nota. Estudiaremos únicamente el caso en que el denominador tiene todas las raíces reales y distintas.

Si x₁, x₂, ......x_n son las raíces de Q(x) se verifica:

Donde A₁, A₂,....., A_n  son números reales que hay que determinar

Ejemplo 8. Consideremos  

Igualando a cero el denominador:

Las raíces son 0 y 

Luego descomponiendo la fracción en fracciones simples, se tiene:

y se trata de calcular  estas constantes.

Se tiene, efectuando la suma e igualando los numeradores,

x+1= A₁(x-2)(x+3)+A₂x (x+3)+ A₃x(x-2)

Teniendo en cuenta que los dos polinomios son iguales, tomarán los mismos valores en todos los puntos, en particular:

Para x=0               0+1=A₁ (-2)(3)A₁=-1/6

Para x=2               2+1= A₂.2.5  A₂ =3/10

Para x=-3              -3+1=A₃ (-3)(-5) A₃=-2/15

Luego  =

Nota. Para el cálculo de las constantes hay otro método más general, el de los coeficientes indeterminados, pero en el caso de las raíces simples y distintas este es mejor.

Ejercicio. 6. Calcula: a); b) 

c)