áreas de dos funciones

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

2. Hallar el área de la figura limitada por: y = x², y = x, x = 0, x = 2.

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

3. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.

El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.

El área de rectángulo es base por altura.

El área bajo la curva y = ln x es:

4. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x² y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

5. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y² = 4x e y = x².

área de una funcion

Caso 1

                      Área entre una función positiva y el eje de abscisas

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos 

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x² y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

2. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

·

3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

 Caso 2:  Área entre una función negativa y el eje de abscisas

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Ejemplos 

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x² − 4x y el eje OX.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.

 Caso 3: La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos 

1. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

2. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x² + y² = 9.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.