Caso 1
Área entre una
función positiva y el eje de abscisas
Si la función es positiva en un intervalo [a, b]
entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área
de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes
pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con
con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral
definida de la función que tiene como límites de integración los
puntos de corte.
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto
limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los
puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites
de integración.
Como la parábola es simétrica
respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x =
0 y x = 3.
2. Calcular el área limitada por la
curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.
·
3. Calcular el área del triángulo de
vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).
Ecuación de la recta que pasa por
AB:
Ecuación de la recta que pasa por
BC:
Caso 2: Área entre una función negativa y el eje de abscisas
Si la función es negativa en un intervalo [a, b]
entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área
de la función viene dada por:
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto
limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
2. Hallar el área limitada por la
curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.
Caso 3: La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y
por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos
los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el
eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que
serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma
de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1. Hallar el área limitada por la
recta ,
el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.
2. Calcular el área de la región del
plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.
El área del círculo es cuatro
veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.
Hallamos los nuevos límites de
integración.
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