SERIE DE TAYLOR
La
serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se
puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una
buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del
valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por
supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas
expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido
como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de
términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación
funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc. La serie de Taylor
se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas
operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al
intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se
llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar
una estimación del resto del teorema de Taylor. Una
función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de
potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en
la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de
Maclaurin.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie
de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos
normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias
negativas de x (véase Serie de Laurent. Por
ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.
Donde n! es
el factorial de n
F(n) es
la enésima derivada de f en el punto a Como
se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar
un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto
se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no
afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. Teorema
de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1
derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x,
entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La
expansión en series de Taylor de n-ésimo orden
debe ser exacta para un polinomio de n-ésimoorden. Para otras
funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no
se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.
El
valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un
número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana
a la solución verdadera para propósitos prácticos. ¿Cuántos términos se
requieren para obtener una “aproximación razonable”? La
ecuación para el término residual se puede expresar como:
Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1.
El error es proporcional al tamaño del paso helevado a la (n+1)-ésima potencia.
Existen
series de Taylor para:
·
Función
exponencial
·
Logaritmo natural
Error
de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u).
Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con htamaño
de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en
el valor de la función.
Función e
Se
puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le resulte
a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí. Lo primero que se hace es
derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a
tener un patrón repetitivo después de cierto numero de derivaciones, como la
función e. Después se tiene que sustituir "a" en cada una
de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un
0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Esto
de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie
y para darnos una idea de como se comporta la funcion. Una vez que se tiene una
idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuación
de la serie.
Con
las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira
llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado
sea mas preciso.
Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer
algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por
ejemplo:
Función Coseno
Para el coseno el
procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de
"a" en cada una para observar el patrón.
Después se va llenando la
serie de Taylor para después hacer una ecuación general:
Por
último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso:
