Serie de potencias
Una
serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una
serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
Llamamos serie de
potencias a toda expresión del tipo
Es
interesante saber cuáles son los valores de x Î R para
los que las respectivas series funcionales se convierten
en series numéricas convergentes.
Serie De Potencias
Serie De Potencias
Una serie de potencias puede ser
interpretada como una función de “x”:
Cuyo dominio es el conjunto de los x 2
R para los que la serie es convergente y el valor def(x) es, precisamente, la
suma de la serie en ese punto x.
Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un
comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables
de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de
potencias. Desde un punto de vista más practico, las series de potencias
aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de
grado n a lo sumo, representa una aproximación
a la función suma en su dominio de convergencia. En la siguiente figura (Figura
1.0), puede verse la función f(x)
= ex junto con algunas aproximaciones mediante sumas parciales de su serie de
potencias.
Figura Aproximación a ex por su serie de potencias
La siguiente imagen muestra el teorema de la serie de
potencias, ejemplificando lo descrito anteriormente.
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