Representación de
funciones mediante serie de Taylor
La serie de Taylor de una función f de números
reales o complejos que es infinitamente diferencia ble en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:
que
puede ser escrito de una manera más compacta como
Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota
la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
Si esta
serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y
la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar
si la serie converge a f(x), suele usar una estimación del resto del Teorema de Taylor. Una función
es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los
coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la formula de
la serie de Taylor.
Continuación
se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los
desarrollos son también válidos para valores complejos.
Función
exponencial y logaritmo natural:
Serie
geométrica:
Teorema
del binomio:
Funciones
trigonométrica:
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